LA GUÍA MANGA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

RESEÑA 

Resumen de contenido

Sara acaba de empezar como periodista en el diario la verdad. Quiere tratar temas de actualidad, como asuntos internacionales o política, ¿pero es suficientemente perspicaz? menos mal, que su actual jefe, Eduardo, le enseñará a analizar las noticias a través del cálculo.
En la guía manga del cálculo diferencial e integral, aprenderás junto con Sara, que el cálculo es algo más que una asignatura que hay que aprobar en la escuela. Descubrirás que el cálculo es una herramienta eficaz para analizar comportamientos físicos, pautas económicas, y otros muchos fenómenos cotidianos, como la probabilidad, la estadística, las curvas de oferta y demanda, la influencia de la contaminación en la economía, y la graduación del shochu (un licor japonés).
Eduardo enseñará a Sara a:
Derivar para obtener el incremento de una función
El teorema fundamental del cálculo, necesario para comprender la relación entre la derivada y la integral
A derivar e integrar funciones trigonométricas y de otros tipos.
A emplear la serie de Taylor para hacer aproximaciones mediante funciones polinómicas. a manejar variables múltiples y derivadas parciales en funciones complejas
A sacar derivadas parciales en funciones de múltiples variables.
Tanto si te bloquea el cálculo, como si es tu iniciación ó si simplemente quieres recordar lo estudiado, podrás encontrar respuestas en la guía manga del cálculo.

POSIBLES DESTINATARIOS DE “LA GUÍA MANGA DE CÁLCULO”

Éste Manga de Cálculo es una obra que sin duda alguna se convertirá en referencia para cualquier docente de bachillerato, que quiera aconsejar un libro, que explique el Cálculo Diferencial e Integral de una forma amena y entretenida.
Pero no es únicamente eso, bajo el disfraz del Manga, a través de una tierna historia de amor pensada para el consumo de un público adolescente, se estructuran los contenidos con preciso rigor pedagógico. Esta estructura de adición de conceptos, en donde los primeros son imprescindibles para la compresión de los siguientes, no se expone forma abstracta, sino que se configura a través de ejemplos extraídos de la vida cotidiana, ejemplos ante los cuales, el lector en su edad adulta, se tendrá que posicionar o se habrá posicionado ya.
No puedo sino recomendar este libro para cualquiera que tenga interés, por saber, por comprender la realidad de la sociedad en la que vivimos y lo útil y eficaz que es el cálculo para analizarla.

Javier Plaza
Arquitecto Técnico Superior

Prefacio del autor
Hay algunas cosas que sólo los Mangas pueden conseguir.
Acabas de coger este libro y los has abierto. Debes ser alguno de los siguientes tipos de personas.
El primer tipo, son las personas a las que les gustan los Mangas y piensan, “¿Cálculo explicado mediante un Manga? ¡Genial!” Si eres de este tipo, deberías comprarlo inmediatamente, —no te arrepentirás. Este Manga es muy entretenido. No es casualidad—Shin Togami, un dibujante de Mangas muy conocido, fue el que lo dibujó, y Becom Ltd., una productora especializada en Mangas fue la que escribió el guión.

Puede ser que pienses, "un manga que explica el cálculo, no debe ser entretenido”. Yo también lo pensaba. De hecho, cuando el editor Ohmsha me pidió que escribiese este libro, casi rechazo la oferta. Muchos de los denominados “Mangas Educativos” suelen decepcionar bastante. Puede ser que tengan muchas ilustraciones y dibujos grandes, pero en realidad no son Mangas. Sin embargo, después de ver uno similar publicado por Ohmsha (La Guía Manga a la Estadística), cambié totalmente de opinión. A diferencia de otros muchos Mangas de este estilo, era lo suficientemente entretenido como para acabar de leerlo. El editor me dijo que mi libro sería similar a éste, —por eso no pude rechazar su oferta. De hecho, con frecuencia he pensado que podría enseñar más fácilmente el cálculo a través de los Mangas, por lo que comprendí gran oportunidad que se me brindaba para poner mis ideas en práctica. Te garantizo que a más aficionado seas a los Mangas, más te gustará este libro. ¿Así que, a qué estas esperando? ¡No le des más vueltas y cómpralo!

El segundo tipo, son los que cogen este libro pensando, “Aunque no entiendo y no soporto el cálculo, este Manga me puede ayudar a comprenderlo.” Si eres de este tipo de personas, este libro también es para ti. Está equipado con múltiples sistemas pedagógicos, para que aquellos que han sido maltratados por el cálculo en el pasado. No sólo explica el cálculo a través del Manga, sino que la forma de sus contenidos son radicalmente distintos a los forma de los libros de texto convencionales. En primer lugar, explica repetidas veces la utilidad del cálculo. Nunca entenderás esto a través de métodos de enseñanza que avanzan a través de límites (o de logismos tipo -). Sólo si tienes una idea clara sobre la utilidad del cálculo y de su importancia en el desarrollo de nuestro conocimiento, podrás comprenderlo y emplearlo libremente y evitarás caer en la mediocridad de memorizar fórmulas y reglas. Este libro hace aproximaciones de primer orden a todos los conceptos que explica, en los que se basan sus fórmulas, ayudándote a visualizar su significado y a comprenderlos más fácilmente. Es por esta razón, por la que puedes pasar fácilmente de la derivación a la integración. Yo diría incluso más, se trata de un método pedagógico, distinto del de los libros de texto convencionales. Con él se explica la diferenciación y la integración de las funciones trigonométricas y exponenciales más frecuentes, lo que en general suele seguir siendo chino para muchos, incluso después de repetidos repasos. Este libro, ha querido profundizar más allá de lo que hacen otros Manga de Cálculo, abarcando incluso la Serie de Taylor y la Diferenciación Parcial. También, invité a tres asiduos usuarios del cálculo—la física, la estadística, y la economía—para que formasen parte de este libro y presentasen varios ejemplos que muestran con ejemplos lo útil que es. Gracias a todos estos recursos, llegarás a percibir el cálculo como una herramienta útil y no como una penosa carga.

No me cansaré de repetir: Que todo esto ha sido posible gracias al Manga. ¿Por qué puedes comprender mejor la información leyendo un Manga que leyendo un texto? Porque los Mangas representan datos visuales de forma animada y porque el cálculo es la parte de las matemáticas que describe los fenómenos dinámicos— Por esta razón, el Manga, se convierte en es una herramienta ideal para explicar el cálculo. Continúa con la lectura y disfrutarás de la perfecta unión entre el Manga y el cálculo.

Hiroyuki Kojima
November 2005

Nota: Para facilitar la comprensión, algunas figuras no se han dibujado a escala.

Contenido

Prefacio                                                                                                         xi

Prólogo:
¿Qué es una Función?                                                                                     1

Ejercicio                                                                                                           14

1
¡La Derivada de una Función!                                                                          15

Conversión de Datos en Funciones Continuas                                               16

Cálculo del Diferencial                                                                                     27

¡Las Derivadas en Acción!                                                                              32

Paso 1                                                                                                             34

Paso 2                                                                                                             34

Paso 3                                                                                                             35

Deducción de la Derivada                                                                               39

Derivando una Función Constante, Lineal y Cuadrática                         40

Resumen                                                                                                         40

Ejercicios                                                                                                        41

2
¡Técnicas de Derivación!                                                                                43

La Regla de la Suma de Derivadas                                                                48

La Regla del Producto de Derivadas                                                              53

La Derivada de un Polinomio                                                                          62

El Máximo y el Mínimo                                                                                     64

Teorema del Valor Medio                                                                               72

Deducción de la Regla del Cociente de Derivadas                                        74

Deducción de la Derivada de una Función Compuesta                                 75

Deducción de la Derivada de una Función Inversa                                       75

Ejercicios                                                                                                       76

3
¡Las Integrales!                                                                                              77

El Teorema Fundamental del Cálculo                                                             82

Paso 1—Cuando la Densidad es Constante                                                 83

Paso 2—Cuando la Densidad varía por Tramos                                           84

Paso 3—Cuando la Densidad varía de forma continua                                 85

Paso 4—Recapitulando las Derivadas                                                          88

Paso 5—Aproximación  Equivalencia                                                         89

Paso 6—p(x) es la Derivada de q(x)                                                            90

Uso del Teorema Fundamental del Cálculo                                                   91

Resumen                                                                                                      93

Desarrollo estricto del 5º paso                                                                    94

Reglas de Integración                                                                                 95

Aplicaciones del Teorema Fundamental                                                     101

La Curva de la Oferta                                                                                 102

La Curva de la Demanda                                                                            103

Repaso del Teorema Fundamental de Cálculo                                           110

La Regla de Sustitución en las Integrales                                                  111

La Regla de la Integración de Potencias                                                    112

Ejercicios                                                                                                    113

4
¡Técnicas de Integración!                                                                            115

Las Funciones Trigonométricas                                                                 116

Integración de las Funciones Trigonométricas                                           125

Las Funciones Exponenciales y Logarítmicas                                           131

Generalidades sobre las Funciones Exponenciales y Logarítmicas          135

Resumen de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas                        140

Otras Aplicaciones del Teorema Fundamental                                           142

Integración por Partes                                                                                143

Ejercicios                                                                                                    144

5
¡La Serie de Taylor!                                                                                     145

Aproximaciones Polinómicas                                                                      147

Deducción de la Serie de Taylor                                                                 155

La Serie de Taylor de algunas Funciones                                                  160

¿Qué genera la Serie de Taylor?                                                                161

Ejercicios                                                                                                    178

6
¡Las Derivadas Parciales!                                                                            179

¿Qué son las Funciones de Múltiples Variables?                                       180

Funciones Lineales de dos Variables                                                         184

Derivada Parcial                                                                                          191

Definición de una Derivada Parcial                                                             196

Derivada Total                                                                                             197

La Condición de los Extremos                                                                    199

Aplicando la Derivación Parcial a la Economía                                           202

El Principio de la Cadena                                                                            206

Deducción de la Derivación de una Función Implícita                                218

Ejercicios                                                                                                   218

Epílogo:
¿Cuál es el sentido del Cálculo?                                                                219

A
Soluciones de los Ejercicios                                                                      225

Prólogo                                                                                                       225

Capítulo 1                                                                                                   225

Capítulo 2                                                                                                   225

Capítulo 3                                                                                                   226

Capítulo 4                                                                                                   227

Capítulo 5                                                                                                   228

Capítulo 6                                                                                                   229

B
Pricipales Fórmulas, Teoremas y Funciones
abordadas en este Libro                                                                           231

Ecuaciones Lineales (Funciones Lineales)                                               231

Derivación                                                                                                  231

Derivadas de las Funciones más frecuentes                                            232

Integrales                                                                                                   233

Serie de Taylor                                                                                           234

Derivadas Parciales                                                                                   234

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